Question

11．已知函數f（x）=|x+1|+2|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）＞2的解集；
（II）若函數y=f（x）的最小值為5，求實數a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區間上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出各個區間上的函數的最小值，得到關于a的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=|x+1|+2|x-1|，
x≥1時，f（x）=x+1+2x-2=3x-1＞2，解得：x＞1，
-1＜x＜1時，f（x）=x+1+2-2x=-x+3＞2，解得：x＜1，
x≤-1時，f（x）=-x-1+2-2x=-3x+1＞2，解得：x＜-$\frac{1}{3}$，
綜上，不等式的解集是（-∞，1）∪（1，+∞）；
（II）  ①a＞-1時，
x≥a時，f（x）=x+1+2x-2a=3x+1-2a，
此時，f（x）_min=f（a）=a+1，
-1≤x≤a時，f（x）=x+1+2a-2x=-x+2a+1，
此時，f（x）_min=f（a）=a+1；
x≤-1時，f（x）=-x-1+2a-2x=-3x+2a-1，
此時，f（x）_min=f（-1）=2a+2，
由a＞-1，得2a+2＞a+1，
綜上，f（x）的最小值是f（a）=a+1=5，解得：a=4；
②a＜-1時，
x≥-1時，f（x）=x+1+2x-2a=3x+1-2a，
此時，f（x）_min=f（-1）=-2a-2，
a≤x≤-1時，f（x）=-x-1+2x-2a=x-1-2a，
此時，f（x）_min=f（a）=-a-1，
x≤a時，f（x）=-x-1-2x+2a=-3x+2a-1，
此時，f（x）_min=f（a）=-a-1，
由a＜-1，則-a-1＜-2a-2，
故f（x）的最小值是f（a）=-a-1=5，解得：a=-6，
綜合①②a=4或a=-6．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想以及函數最值問題，是一道中檔題．