Question

19．已知函數(shù)f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）$（x∈R）．
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{3}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）x∈$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$⇒$2x+\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．
當$2x+\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$．
$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為1．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{6}}]$上的最大值為1，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，屬于基礎題．