Question

7．直線y=kx+1和雙曲線3x²-y²=1相交，交點為A、B，當k為何值時，以弦AB為直徑的圓過坐標原點．

Answer 1

分析 把直線方程與雙曲線的方程聯立可得△＞0，解出k的范圍．利用向量垂直與數量積的關系、根與系數的關系即可得出．

解答 解：設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由于直線與雙曲線相交，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{k}^{2}≠0}\\{△=4{k}^{2}+8（3-{k}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，∴k²＜6且k²≠3．
∴k的取值范圍為-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$．
由韋達定理，得x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，①x1x2=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，②
∵以AB為直徑的圓恰好過坐標系的原點，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，整理得（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0③
將①②代入③，并化簡得$\frac{1-{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$=0，∴k=±1，
經檢驗，k=±1滿足題目條件，
故存在實數k滿足題目條件．

點評 本題考查了直線與雙曲線相交轉化為方程聯立可得△＞0及根與系數的關系、圓的性質、向量垂直與數量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．