Question

4．已知函數f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）
（1）求f（x）的單調減區間；
（2）若α是銳角，f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （1）根據正弦函數的性質直接求解f（x）的單調減區間；
（2）根據f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，利用和與差公式即可求解sinα-cosα的值．

解答 解：（1）函數f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$\frac{2}{3}kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{5π}{12}+\frac{2}{3}kπ$，
∴f（x）的單調減區間為[$\frac{2}{3}kπ-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}+\frac{2}{3}kπ$]，k∈Z，
（2）由f（$\frac{α}{3}$）=cos2α，即sin（α+$\frac{π}{4}$）=cos2α．
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=cos²α-sin²α
得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinα+cosα）=（cosα+sinα）（cosα-sinα）
∵α是銳角，
∴cosα+sinα≠0．
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故得sinα-cosα=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的性質的運用和和與差公式的計算．屬于基礎題．