Question

14．已知曲線C₁在平面直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，有曲線C₂：ρ=2cosθ-4sinθ
（1）將C₁的方程化為普通方程，并求出C₂的平面直角坐標方程
（2）求曲線C₁和C₂兩交點之間的距離．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁在平面直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程．由曲線C₂：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ²=ρ（2cosθ-4sinθ），利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）x²+y²=2x-4y．化為（x-1）²+（y+2）²=5．可得圓心C₂（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$．求出圓心到直線的距離d，可得曲線C₁和C₂兩交點之間的距離=2$\sqrt{{r}^{2}-p9vv5xb5^{2}}$．

解答 解：（1）曲線C₁在平面直角坐標系中的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t}\\{y=\frac{2\sqrt{5}}{5}t-1}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：y=2x-1．
由曲線C₂：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ²=ρ（2cosθ-4sinθ），可得直角坐標方程：x²+y²=2x-4y．
（2）x²+y²=2x-4y．化為（x-1）²+（y+2）²=5．可得圓心C₂（1，-2），半徑r=$\sqrt{5}$．
∴曲線C₁和C₂兩交點之間的距離=2$\sqrt{5-（\frac{2+2-1}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、直線與圓相交弦長問題、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．