Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t為參數，α為傾斜角），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位，曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和參數方程；
（Ⅱ）設l與曲線C交于A，B兩點，求線段|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C的極坐標方程能求出曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的參數方程．
（Ⅱ）把代入$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入（x-2）²+（y-3）²=9，得t²-2（cosα+2sinα）t-4=0，設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=2（cosα+2sinα），t₁t₂=-4，|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|，由此能求出|AB|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0，
所以曲線C的普通方程為x²+y²-4x-6y+4=0，
即（x-2）²+（y-3）²=9，
所以曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+3cosφ\\ y=3+3sinφ\end{array}\right.$（φ為參數）．
（Ⅱ）把代入$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$代入（x-2）²+（y-3）²=9，
并整理得t²-2（cosα+2sinα）t-4=0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，
所以t₁+t₂=2（cosα+2sinα），t₁t₂=-4，
所以|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|
=$\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{4{{（cosα+2sinα）}^2}+16}$=$\sqrt{4（1+4sinαcosα+3{{sin}^2}α）+16}$
=$\sqrt{4（1+2sin2α+3×\frac{1-cos2α}{2}）+16}$=$\sqrt{10（\frac{4}{5}sin2α-\frac{3}{5}cos2α）+26}$，
設$cosφ=\frac{4}{5}$，$sinφ=\frac{3}{5}$，
∴$|AB|=\sqrt{10sin（2α-φ）+26}$，
∵-1≤sin（2α-φ）≤1，∴16≤10sin（2α-φ）+26≤3，∴4≤|AB|≤6，
∴|AB|的取值范圍為[4，6]．

點評 本題考查曲線的參數方程的求法，考查線段長的取值范圍的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．