Question

8．如圖，已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓經過等腰梯形ABCD的四個頂點，兩腰與x軸相交于點M，N，且$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$
（1）若等腰梯形的高等于3，上底BC=2，MN=6，求橢圓方程；
（2）當MN等于橢圓的短軸長時，求橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據向量的坐標運算，即可求得x₂-3=-2（x₁-3），y₂=-2y₁，根據單調性，即可求得A和B的坐標，代入橢圓方程，即可求得橢圓方程；
（2）由2x₁+x₂=3b，代入橢圓方程，由0＜x₂＜b，即可求得3c²＜2a²，根據橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：設橢圓方程：mx²+ny²=1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可知：點M坐標為（3，0），
則$\overrightarrow{MB}$=（x₂-3，y₂），$\overrightarrow{MA}$=（x₁-3，y₁），
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{MB}$=-2$\overrightarrow{MA}$，則x₂-3=-2（x₁-3），y₂=-2y₁，
由等腰梯形與橢圓的對稱性，則y₂-y₁=3，x₂=1，
∴x₁=4，y₁=-1，y₂=2，
∴A（4，-1），B（1，2），
$\left\{\begin{array}{l}{16m+n=1}\\{m+4n=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{21}}\\{n=\frac{5}{21}}\end{array}\right.$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{21}+\frac{5{y}^{2}}{21}=1$；
（2）由2x₁+x₂=3b，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y₁，
4x₁²-x₂²=3a²，
∴2x₁-x₂=$\frac{{a}^{2}}{b}$，2x₂=3b-$\frac{{a}^{2}}{b}$，
由0＜x₂＜b，則0＜3b²-a²＜2b²，
∴a²＜2a²，3c²＜2a²，
∴e=$\frac{c}{a}$，則0＜e＜$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴橢圓的離心率e的取值范圍（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，橢圓的離心率的求法，考查橢圓的對稱及等腰梯形的對稱性，考查計算能力，屬于中檔題．