Question

14．設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$是非零向量，則“$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共線”是“|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|”的（　　）

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 根據向量共線的等價條件，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

解答 解：若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共線，則$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$，但m＞0時，滿足“|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|”，當m＜0時，“|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|＞|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|”，則充分性不成立，
反之若“|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|”，平方得“|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$”，
即|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞，則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=1，則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，即$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共線，即必要性成立，
則“$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$共線”是“|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|”的必要不充分條件，
故選：B

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合向量共線的等價條件是解決本題的關鍵．