Question

16．已知拋物線E：y²=4x，設A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{9}{4}$（其中O為坐標原點）
（Ⅰ）求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標；
（Ⅱ）過點Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出直線AB的方程，聯立直線與拋物線方程，利用數量積為0，求出k，化簡直線方程推出直線必過定點，并求出該定點Q的坐標；
（Ⅱ）利用韋達定理以及弦長公式，表示出三角形的面積，通過換元法，利用函數的單調性求解最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）設直線AB的方程為：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁）、B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$得y²-4my-4t=0，則y₁+y₂=4m，與y₁y₂=-4t，
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$得：$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{9}{4}$⇒y₁y₂=-18或y₁y₂=2（舍）．
即$-4t=-18⇒t=\frac{9}{2}$，所以直線AB過定點$Q（{\frac{9}{2}，0}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$|{AB}|=\sqrt{1+{m^2}}|{{y_2}-{y_1}}|$=$\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{16{m^2}+72}$，
同理得，$|{GD}|=\sqrt{1+{{（{-\frac{1}{m}}）}^2}}|{{y_2}-{y_1}}|$=$\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\sqrt{\frac{16}{m^2}+72}$，
則四邊形AGBD面積 $S=\frac{1}{2}|{AB}|•|{GD}|=\frac{1}{2}\sqrt{1+{m^2}}$$\sqrt{16{m^2}+72}\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}\sqrt{\frac{16}{m^2}+72}$
=$4\sqrt{（{2+（{{m^2}+\frac{1}{m^2}}）}）•（{85+18（{{m^2}+\frac{1}{m^2}}）}）}$，
令${m^2}+\frac{1}{m^2}=μ（{μ≥2}）$，
則$S=4\sqrt{18{μ^2}+121μ+170}$是對稱軸為μ＜0，開口向上，函數是關于μ的增函數，當μ=2時函數取得最小值．
故S_min=88．
當且僅當m=1時取到最小值88．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，韋達定理以及弦長公式，函數與方程思想的應用，考查轉化思想以及計算能力．