Question

7．已知${∫}_{0}^{2}$（3x²-1）dx=m，則$（1-x）{（{x^2}+\frac{1}{x}）^m}$的展開式中x⁴的系數是-20．

Answer 1

分析 計算定積分得出m的值，再利用二項式定理求出（x²+$\frac{1}{x}$）^m的展開式中含x³和x⁴的系數，得出答案．

解答 解：m=${∫}_{0}^{2}$（3x²-1）dx=（x³-x）|${\;}_{0}^{2}$=6，
∴（x²+$\frac{1}{x}$）⁶的通項為T_r+1=${C}_{6}^{r}$（x²）^r（$\frac{1}{x}$）^6-r=${C}_{6}^{r}$x^3r-6．
令3r-6=3得r=3，∴（x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中含x³的系數為${C}_{6}^{3}$=20，
令3r-6=4得r=$\frac{10}{3}$，舍，∴（x²+$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中不含x⁴項．
∴$（1-x）{（{x^2}+\frac{1}{x}）^m}$的展開式中x⁴的系數為-1×20=-20．
故答案為：-20．

點評 本題考查了定積分的計算，二項式定理，屬于中檔題．