Question

2．已知曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）上一點P（x，y）到定點M（a，0），（a＞0）的最小距離為$\frac{3}{4}$，則a=$\frac{11}{4}$或$\frac{\sqrt{21}}{4}$．

Answer 1

分析 根據兩點之間的距離公式，表示表示出丨PM丨²，利用換元法及二次函數的性質，即可求得a的值．

解答 解：由丨PM丨²=（2cosθ-a）²+sin²θ=3cos²θ-4acosθ+1+a²，
設cosθ=t，t∈[-1，1]，設f（t）=3t²-4at+1+a²，t∈[-1，1]，
由二次函數的性質，對稱軸t=$\frac{2a}{3}$，由0＜$\frac{2a}{3}$＜1時，0＜a＜$\frac{3}{2}$，
則當t=$\frac{2a}{3}$時，取最小值為：1-$\frac{{a}^{2}}{3}$，則1-$\frac{{a}^{2}}{3}$=$\frac{9}{16}$，解得：a=±$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
由0＜a＜$\frac{3}{2}$，則a=$\frac{\sqrt{21}}{4}$，
當$\frac{2a}{3}$＞1時，即a＞$\frac{3}{2}$，則f（t）在[-1，1]，單調遞減，
則當t=1時取最小值，最小值為：a²+4-4a，
∴a²+4-4a=$\frac{9}{16}$，整理得：16a²-64a+55=0，解得：a=$\frac{11}{4}$或a=$\frac{5}{4}$，
由a＞$\frac{3}{2}$，則a=$\frac{11}{4}$，
綜上可知：a的值為：$\frac{\sqrt{21}}{4}$或$\frac{11}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{4}$或$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查參數方程的應用，二次函數的性質，考查分類討論思想，屬于中檔題．