Question

1．在直角坐標系中，直線l過定點（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
（1）寫出l的參數方程和C的直角坐標方程；
（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，且$|AB|=8\sqrt{10}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）由直線l過定點（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），能求出l的參數方程；曲線C的極坐標方程轉化為ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，由此能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）把直線方程代入拋物線方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，從而${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，由此利用$|AB|=8\sqrt{10}$，能求出α的值．

解答 解：（1）∵直線l過定點（-1，0），且傾斜角為α（0＜α＜π），
∴l的參數方程為$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$，（α為參數），
∵曲線C的極坐標方程為ρ=cosθ（ρcosθ+8）．
∴ρ²=ρ²cos²θ+8ρcosθ，
∴曲線C的直角坐標方程為：y²=8x．
（2）把直線方程代入拋物線方程得：t²sin²α-8tcosα+8=0，
∴${t_1}+{t_2}=\frac{8cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=\frac{8}{{{{sin}^2}α}}$，
∵$|AB|=8\sqrt{10}$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\frac{{4\sqrt{4-6{{sin}^2}α}}}{{{{sin}^2}α}}=8\sqrt{10}$，
∴20sin⁴α+3sin²α-2=0，∴${sin^2}α=\frac{1}{4}$，
∴$sinα=\frac{1}{2}∴α=\frac{π}{6}或α=\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查直線的參數方程和曲線的直角坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．