Question

12．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則下列命題中，正確的為①②④（填序號）．
①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC=BD；④異面直線PM與BD所成的角為45°．

Answer 1

分析 利用線面平行與垂直的判定定理和性質定理、正方形的性質、異面直線所成的角即可判定．

解答 解：在四面體ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ?平面ACD，MN?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．$\frac{PN}{BD}=\frac{AN}{AD}，\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{AD}$
而AN≠DN，PN=MN，∴BD≠AC．
綜上可知：①②④都正確．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了線面平行與垂直的判定定理和性質定理、正方形的性質、異面直線所成的角，屬于中檔題．