Question

17．已知實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-8≤0}\\{2x-3y+6≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，若x²+2y²≥m恒成立，則實數m的最大值為（　　）

• A． 5
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 利用換元法將不等式進行轉化，結合點到直線的距離公式進行求解即可．

解答 解：設a=x，b=$\sqrt{2}$y，則不等式x²+2y²≥m等價為a²+b²≥m，
則實數x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{4x-y-8≤0}\\{2x-3y+6≥0}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$等價為$\left\{\begin{array}{l}{4a-\frac{\sqrt{2}}{2}b-8≤0}\\{2a-\frac{3\sqrt{2}}{2}b+6≥0}\\{a+\frac{\sqrt{2}}{2}b-2≥0}\end{array}\right.$，
作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
設z=a²+b²，則z的幾何意義是區(qū)域內的點到原點的距離，
由圖象知O到直線2a+$\sqrt{2}$b=4的距離最小，
此時原點到直線的距離d=$\frac{|4|}{\sqrt{4+2}}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}$，
則z=d²=$\frac{8}{3}$，
即m≤$\frac{8}{3}$，即實數m的最大值為$\frac{8}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，解題的關鍵是會利用換元法進行求解．