Question

10．已知函數f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，關于x的不等式f²（x）+af（x）＞0只有兩個整數解，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． $（-ln2，-\frac{1}{3}ln6]$
• B． $（-\frac{1}{e}，-\frac{ln6}{3}]$
• C． $[\frac{1}{3}ln6，ln2）$
• D． $[\frac{ln6}{3}，\frac{2}{e}）$

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，作出f（x）的圖象，利用函數圖象得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-ln（2x）}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=$\frac{e}{2}$，
∴當0＜x＜$\frac{e}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x＞$\frac{e}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
由當x$＜\frac{1}{2}$時，f（x）＜0，當x$＞\frac{1}{2}$時，f（x）＞0，
作出f（x）的大致函數圖象如圖所示：

∵f²（x）+af（x）＞0，
（1）若a=0，即f²（x）＞0，顯然不等式有無窮多整數解，不符合題意；
（2）若a＞0，則f（x）＜-a或x＞0，
由圖象可知f（x）＞0有無窮多整數解，不符合題意；
（3）若a＜0，則f（x）＜0或f（x）＞-a，
由圖象可知f（x）＜0無整數解，故f（x）＞-a有兩個整數解，
∵f（1）=f（2）=ln2，且f（x）在（$\frac{e}{2}$，+∞）上單調遞減，
∴f（x）＞-a的兩個整數解必為x=1，x=2，
又f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，解得-ln2＜a≤-$\frac{ln6}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性判斷，不等式的解與函數圖象的關系，屬于中檔題．