Question

15．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x-4y+4=0與圓C相切．
（I）求圓C的方程；
（II）過點Q（0，-3）的直線l與圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用切線的性質列方程解出圓心坐標即可得出圓的方程；
（II）設直線l斜率為k，聯立方程組，利用根與系數的關系計算x₁x₂，y₁y₂，根據數量積公式列方程解出k得出直線l的方程．

解答 解：（I）設圓C的圓心為C（a，0），
則C到直線3x-4y+4=0的距離等于圓的半徑，
∴$\frac{|3a+4|}{\sqrt{9+16}}$=2，解得a=2或a=-$\frac{14}{3}$（舍）．
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4．
（II）若直線l無斜率，則直線l方程為x=0，與圓C相切，不符合題意；
若直線l有斜率，設直線l的方程為y=kx-3，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∵直線l與圓有兩個交點，
∴△=（4+6k）²-36（1+k²）＞0，解得k＞$\frac{5}{12}$．
由根與系數的關系可得：x₁+x₂=$\frac{4+6k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁-3）（kx₂-3）=k²x₁x₂-3k（x₁+x₂）+9=$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$-$\frac{12k+18{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+9=$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=3，
∴x₁x₂+y₁y₂=3，即$\frac{9}{1+{k}^{2}}$+$\frac{9-12k}{1+{k}^{2}}$=3，解得k=1或k=-5（舍）．
∴直線l的方程為y=x-3．

點評 本題考查了圓的標準方程，直線與圓的位置關系，距離公式的應用，屬于中檔題．