Question

9．已知定義域為R的奇函數f（x）滿足f（log₂x）=$\frac{-x+a}{x+1}$．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在定義域 R的單調性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知利用換元法求得函數解析式；
（2）直接利用函數單調性的定義證明；
（3）由（2）結合函數的奇偶性把不等式f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0恒成立轉化為t²-2t＞k-3t²．分離k后求出函數4t²-2t的值域得答案．

解答 解：（1）∵f（log₂x）=$\frac{-x+a}{x+1}$，∴令t=log₂x，
則x=2^t，代入原式中：f（t）=$\frac{-{2}^{t}+a}{{2}^{t}+a}$，則f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+a}$，
又∵f（x）在R上是奇函數，∴f（0）=0，解得a=1．
則f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x}+a}$；
（2）由（1）知$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^x}+1}}=\frac{2}{{{2^x}+1}}-1$，
設x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}$=$\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$．
∵函數y=2^x在R上是增函數且x₁＜x₂，
∴${2^{x_2}}$-${2^{x_1}}$＞0．
又（${2^{x_1}}$+1）（ ${2^{x_2}}$+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（3）∵f（x）是奇函數，
從而不等式：f（t²-2t）+f（3t²-k）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（3t²-k）=f（k-3t²），
∵f（x）為減函數，由上式推得：t²-2t＞k-3t²．
即對一切t∈[1，2]有：4t²-2t-k＞0，k＜4t²-2t，
當t=1時最小，則{k|k＜2}．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了函數單調性的證明及其應用，體現(xiàn)了數學轉化思想方法，是中檔題．