Question

20．已知函數f（x）=x²+ax+b．
（1）若對任意的實數x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范圍；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為M，求證：M≥b+1．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數的≥0?△=（a-2）²-4（b-a）≤0即可求解．
（2）由題意x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為M，即f（1）=1+a+b≤M，f（-1）=1-a+b≤M，利用不等式的性質可得M≥b+1．

解答 解：由題意：函數f（x）=x²+ax+b．
∴f（x）≥2x+a?x²+（a-2）x+（b-a）≥0；
∵對任意的x∈R恒成立，可得：△=（a-2）²-4（b-a）≤0，
$?b≥1+\frac{a^2}{4}?b≥1（∵a∈R）$
故得b的取值范圍是[1，+∞）．
（2）證明：x∈[-1，1]時，f（x）的最大值為M，
即f（1）=1+a+b≤M，f（-1）=1-a+b≤M
∴2M≥2b+2，即M≥b+1．
得證．

點評 本題考查了二次函數大于0的恒成立的問題，轉化為判別式求解．同時考查了同向不等式相加的性質．屬于基礎題．