Question

10．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$，且數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）根據數列的通項a_n和S_n的關系，即可求解數列{a_n}的通項公式；
（2）由b_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），即可利用裂項相消求解數列的和，得以證明．

解答 解：（1）當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$\frac{{（n-1）}^{2}}{2}$-$\frac{3（n-1）}{2}$
=n+1，
又n=1時，
a₁=S₁=2適合a_n=n+1，
∴a_n=n+1
（2）證明：由（1）知：
b_n=n+3-（n+1）+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$
=2+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+3}$）
=2n+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+3}$）
＜2n+$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了數列的通項公式a_n與前n項和S_n公式的應用問題，也考查了數列求和公式的應用問題，是綜合性題目．