Question

19．以AB為直徑的半圓，|$\overrightarrow{AB}$|=2，O為圓心，C是$\widehat{AB}$上靠近點A的三等分點，F是$\widehat{AB}$上的某一點，若$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{OF}$，則$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$-\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可以點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，并連接OC，根據條件可得出∠COA=∠FOB=60°，并且OC=OF=1，這樣即可求出點A，B，C，F的坐標，進而得出向量$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{BC}$的坐標，從而得出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：以O為原點，OB所在直線為x軸，
建立如圖所示平面直角坐標系：
連接OC，據題意，∠COA=60°；
∴∠CAO=FOB=60°；
且OC=OF=1；
∴$A（-1，0），F（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），B（1，0），C（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}），\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}=-\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{3}{2}$．
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點評 考查等弧所對的圓心角相等，通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，以及根據點的坐標求向量坐標的方法，向量數量積的坐標運算．