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14.已知點A(0,2),B(4,6),$\overrightarrow{OM}$=t1$\overrightarrow{OA}$+t2$\overrightarrow{AB}$,其中t1、t2為實數;
(1)若點M在第二或第三象限,且t1=2,求t2的取值范圍;
(2)求證:當t1=1時,不論t2為何值,A、B、M三點共線;
(3)若t1=a2,$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$,且△ABM的面積為12,求a和t2的值.

分析 (1)由題設條件,得$\overrightarrow{OM}$=(4t2,2t1+4t2),又點M在第二象限或第三象限,列出不等式求出t2的取值范圍;
(2)由平面向量的共線定理,得$\overrightarrow{AM}$=t2$\overrightarrow{AB}$,能證明A,B,M三點共線;
(3)由t1=a2表示出$\overrightarrow{OM}$、$\overrightarrow{AB}$,利用$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$求出t2=-$\frac{1}{4}$a2,再由S△ABM=12求出a的值和t2的值.

解答 解:(1)由A(0,2),B(4,6),
得$\overrightarrow{AB}$=(4,4),
∴$\overrightarrow{OM}$=t1$\overrightarrow{OA}$+t2$\overrightarrow{AB}$=(4t2,2t1+4t2),
又點M在第二象限或第三象限,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{4t}_{2}<0}\\{{2t}_{1}+{4t}_{2}≠0}\end{array}\right.$,
又t1=2,
解得t2<0且t2≠-1,
∴t2的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,0);
(2)證明:t1=1時,
$\overrightarrow{OM}$=t1$\overrightarrow{OA}$+t2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OA}$+t2$\overrightarrow{AB}$,
∴$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OA}$=t2$\overrightarrow{AB}$,
即$\overrightarrow{AM}$=t2$\overrightarrow{AB}$,
∴不論t2為何值,A、B、M三點共線;
(3)∵當t1=a2時,$\overrightarrow{OM}$=(4t2,4t2+2a2),
又∵$\overrightarrow{AB}$=(4,4),$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{AB}$,
∴4t2×4+(4t2+2a2)×4=0,
∴t2=-$\frac{1}{4}$a2
∴$\overrightarrow{OM}$=(-a2,a2);
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=4$\sqrt{2}$,
點M到直線AB:x-y+2=0的距離為
d=$\frac{|{-a}^{2}{-a}^{2}+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|a2-1|;
∵S△ABM=12,
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$|a2-1|=12,
解得a=±2,此時t2=-$\frac{1}{4}$a2=-1.

點評 本題主要考查兩個向量坐標形式的運算,三點共線的條件,兩個向量垂直的性質,點到直線的距離公式的應用問題,是綜合性題目.

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