Question

15．今年入秋以來，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴重．市環保研究所對近期每天的空氣污染情況進行調査研究后發現，每一天中空氣污染指數與f（x）時刻x（時）的函數關系為f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a為空氣治理調節參數，且a∈（0，1）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求一天中哪個時刻該市的空氣污染指數最低；
（2）規定每天中f（x）的最大值作為當天的空氣污染指數，要使該市每天的空氣污染指數不超過3，則調節參數a應控制在什么范圍內？

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x即可得出．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，再利用函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，
令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x=4，
因此：一天中第4個時刻該市的空氣污染指數最低．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，
當x∈（0，25^a-1]時，f（x）=3a+1-log₂₅（x+1）單調遞減，∴f（x）＜f（0）=3a+1．
當x∈[25^a-1，24）時，f（x）=a+1+log₂₅（x+1）單調遞增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤3}\\{a+2≤3}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$．
可得a∈$（0，\frac{2}{3}]$．
因此調節參數a應控制在范圍$（0，\frac{2}{3}]$．

點評 本題考查了對數函數的單調性及其應用，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．