Question

3．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{a}{2}{x^2}+（{a-1}）x+1$，x∈R，其中參數a∈R．
（Ⅰ）是否存在a，使得f（x）在R上單調遞增，若存在求a的取值集合，不存在說明理由；
（Ⅱ）若過點P（0，1）且與y=f（x）相切的直線有且只有一條，求a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設點Q（m，n），且m＞0，證明：若過Q且與曲線y=f（x）相切的直線有三條，則-m+1＜n＜$\frac{1}{3}{m^3}$-m+1．

Answer 1

分析 （I）首先對f（x）求導，由已知f'（x）＞0，x∈R，則△≤0，即可求出a的值；
（II）設切點為（x₀，y₀），則切線方程為：y=f'（x₀）（x-x₀）+y₀，帶入P點且只有一解，可求出a的值；
（III）切線方程為y=（${x}_{0}^{2}$-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+1，令設g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-mx²+m+n-1，可利用導數求出函數的極大值與極小值，直線有三條，則則g（0）＞0，g（m）＜0．

解答 解：（I）f'（x）=x²+ax+a-1；
由已知f'（x）＞0，x∈R；
∴△≤0，有△=a²-4（a-1）=（a-2）²；
∴a=2；
故a的取值集合為{2}．
（II）設切點為（x₀，y₀），則切線方程為：
y=f'（x₀）（x-x₀）+y₀；
y=（${x}_{0}^{2}$+ax₀+a-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$-$\frac{a}{2}{x}_{0}^{2}$+1；
∵切線過點P（0，1）
∴$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+$\frac{a}{2}{x}_{0}^{2}$=0  ①；
由已知，①只有一解，故a=0．
（III）由（II）知，切線方程為y=（${x}_{0}^{2}$-1）x-$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}$+1；
切線過點Q（m，n）；
∴$\frac{2}{3}{x}_{0}^{3}-m{x}_{0}^{2}+m+n-1$=0；
設g（x）=$\frac{2}{3}{x}^{3}$-mx²+m+n-1；
g'（x）=2x（x-m）；
y=g（x）的極大值為g（0）=m+n-1；
y=g（x）的極小值為：g（m）=-$\frac{1}{3}{m}^{3}$+m+n-1；
切線有3條，則g（0）＞0，g（m）＜0；
即：-m+1＜n＜$\frac{1}{3}{m}^{3}$-m+1．
故得證．

點評 本題主要考查了利用二次函數的圖形特征，切線方程以及利用導數判斷函數的單調性，屬中等題．