Question

18．已知橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$及點B（0，-3），過左焦點F₁與B的直線交橢圓于C，D兩點，F₂為橢圓的右焦點，求△CDF₂的面積．

Answer 1

分析 解法一：橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦點是F₁，直線CD方程為y=-3x-3，與橢圓方程聯立化為：19x²+36x+16=0，而△＞0，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用搞一下試試的關系可得：|CD|=$\sqrt{（1+{3}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，又F₂到直線DC的距離d，可得△CDF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|CD|•d．
解法二：直線CD方程為y=-3x-3，與橢圓方程聯立去x得：19y²+6y-9=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，利用△CDF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|，即可得出．

解答 解：解法一：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦點是F₁，∴F₁（-1，0），∴直線CD方程為y=-3x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}y=-3x-3\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得19x²+36x+16=0，而△＞0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{36}{19}\\{x_1}{x_2}=\frac{16}{19}\end{array}\right.$，
∴$|CD|=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{（1+9）[{{（-\frac{36}{19}）}^2}-4×\frac{64}{19}]}=\frac{{20\sqrt{2}}}{9}$．
又F₂到直線DC的距離$d=\frac{6}{{\sqrt{10}}}$，
故△CDF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|CD|•d=$\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$．
解法二∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1左焦點是F₁（-1，0），
∴直線CD方程為y=-3x-3，
聯立$\left\{\begin{array}{l}y=-3x-3\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$消去x得：19y²+6y-9=0，而△＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{6}{19}\\{y_1}{y_2}=-\frac{9}{19}\end{array}\right.$，
∴$|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\sqrt{{{（-\frac{6}{19}）}^2}+\frac{36}{19}}=\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$，
又|F₁F₂|=2，
∴△CDF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|y₁-y₂|=$\frac{{12\sqrt{5}}}{19}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長公式、三角形面積計算公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．