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17.定義在R上的偶函數滿足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[-1,0]時,f(x)=($\frac{1}{2}$)x-1.若關于x的方程f(x)-loga(x+1)=0(a>1)在x∈(-1,3]上恰有3個不同的實數根,則實數a的取值范圍為(2,4).

分析 由題意可得出函數是周期為2的偶函數且x∈(-1,1)時,f(x)=2|x|-1,方程f(x)-loga(x+1)=0的實數根的個數即兩函數y=f(x)與y=loga(x+1)的圖象的交點個數,利用f(1)=f(3)=1,關于x的方程f(x)-loga(x+1)=0恰有3個不同的實數根,可得loga(1+1)<1且loga(3+1)>1,即可得出答案.

解答 解:f(x)是定義在R上的偶函數,當x∈[-1,0]時,f(x)=($\frac{1}{2}$)x-1,
∴x∈[-1,1]時,f(x)=2|x|-1,
又對任意的x∈R,都有f(x-1)=f(x+1),則f(x)=f(x+2),故周期是2,
方程f(x)-loga(x+1)=0的實數根的個數即兩函數y=f(x)與y=loga(x+1)的圖象的交點個數,
由f(1)=f(3)=1,關于x的方程f(x)-loga(x+1)=0恰有3個不同的實數根,
可得loga(1+1)<1且loga(3+1)>1,
∴2<a<4.
故答案為:(2,4).

點評 本題考查了根的存在性及根的個數判斷,函數的周期性與偶函數的性質,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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