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1.已知等差數列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是等比數列{bn}的第2項、第3項、第4項.
(1)求數列{an}與{bn}的通項公式;
(2)設數列{cn}對n∈N*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=an+1成立,求c1+c2+c3+…+c2016

分析 (1)根據已知得到關于d 的方程解出公差;
(2)利用數列通項與前n項和的關系得到數列{cn}的通項公式,然后求和.

解答 解(1)由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2(d=0舍).
∴an=2n-1,又b2=a2=3,b3=a3=9,∴數列{bn}的公比為3,∴bn=3n-1
(2)由{cn}對n∈N*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=an+1成立得當n≥2時,{cn}對n∈N*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=an成立,
兩式相減得:當n≥2時,$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=an+1-an=2.
∴cn=2bn=2•3n-1(n≥2).
又當n=1時,$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$=a2,∴c1=3,
∴cn=$\left\{\begin{array}{l}{3,n=1}\\{2×{3}^{n-1},n≥2}\end{array}\right.$,
∴c1+c2+c3+…+c2016
=3+(-3+32016)=32016

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式的求法以及數列求和;本題注意數列{cn}的通項公式的表示;屬于中檔題.

練習冊系列答案
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