Question

12．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x₁＜x₂，則${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）與${e}^{{x}_{2}}$f（x₁）的大小關(guān)系為（　　）

• A． ${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）＞${e}^{{x}_{2}}$ex₂f（x₁）
• B． ${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）＜${e}^{{x}_{2}}$f（x₁）
• C． ${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）=${e}^{{x}_{2}}$f（x₁）
• D． ${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）與${e}^{{x}_{2}}$f（x₁）的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，可得g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，于是函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而得出．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{{f}^{′}（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，因此函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，
∵x₁＜x₂，∴g（x₁）＜g（x₂），即$\frac{f（{x}_{1}）}{{e}^{{x}_{1}}}$＜$\frac{f（{x}_{2}）}{{e}^{{x}_{2}}}$，
因此：${e}^{{x}_{1}}$f（x₂）＞${e}^{{x}_{2}}$f（x₁）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．