Question

5．△ABC中，cos2B=1-4sinAsinC，
（1）若b=c，求cosB；
（2）若$\frac{sinA}{sinC}=2$，判斷△ABC形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知可得B=C，A=π-2B，利用二倍角的余弦函數公式，誘導公式化簡已知可得cos²B+4sin²BcosB=1，結合同角三角函數基本關系式即可求得cosB的值．
（2）由正弦定理可得：a=2c，利用二倍角的余弦函數公式化簡已知可得：cos²B+4sin²C=1，結合同角三角函數基本關系式即可求得b=2c=a，即可得解三角形為等腰三角形．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵b=c，B=C，A=π-2B，
∴由cos2B=1-4sinAsinC，可得：2cos²B-1=1-4sin（π-2B）sinB，
∴cos²B+4sin²BcosB=1，
又∵cos²B+sin²B=1，
∴sin²B=4sin²BcosB，
∴cosB=$\frac{1}{4}$…6分
（2）∵$\frac{sinA}{sinC}=2$，sinA=2sinC，
∴由正弦定理可得：a=2c，
∵cos2B=1-4sinAsinC，可得：2cos²B-1=1-8sin²C，整理可得：cos²B+4sin²C=1，
又∵cos²B+sin²B=1，
∴4sin²C=sin²B，可得：sinB=2sinC，
∴b=2c=a，三角形為等腰三角形…12分

點評 本題主要考查了二倍角的余弦函數公式，誘導公式，同角三角函數基本關系式，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．