Question

8．已知偶函數(shù)f（x）是定義在[-2，2]上的函數(shù)，在[0，2]上遞減，且f（1-m）＜f（m），求m的取值范圍．
已知奇函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求 a 的取值范圍．

Answer 1

分析 由題條件知函數(shù)在[0，2]上是減函數(shù)，在[-2，0]上是增函數(shù)，其規(guī)律是自變量的絕對值越小，其函數(shù)值越大，由此可直接將f（1-m）＜f（m）轉(zhuǎn)化成一般不等式，再結(jié)合其定義域可以解出m的取值范圍；
把f（1-a）+f（1-a²）＜0利用奇函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為f（1-a）＜f（a²-1），再利用f（x）在定義域（-1，1）上是減函數(shù)可得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)是偶函數(shù)，
∴f（1-m）=f（|1-m|），f（m）=f（|m|），
∵定義在[-2，2]上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，f（1-m）＜f（m），
∴0≤|m|＜|1-m|≤2，
解得：-1≤m＜$\frac{1}{2}$；
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（1-a）+f（1-a²）＜0?f（1-a）＜f（a²-1），
由題得f（1-a）+f（1-a²）＜0，∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a＞{a}^{2}-1}\\{1-a＜1}\\{{a}^{2}-1＞-1}\end{array}\right.$，∴0＜a＜1．

點評 本題考點是奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查利用抽象函數(shù)的單調(diào)性解抽象不等式，解決此類題的關鍵是將函數(shù)的性質(zhì)進行正確的轉(zhuǎn)化，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．