Question

20．在△ABC中，cosB=-$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosA的值；
（2）設AC=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數基本關系式以及兩角和與差的三角函數化簡求解即可．
（2）利用正弦定理求出A的直線函數值，利用三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）由cosB=-$\frac{5}{13}$，得sinB=$\frac{12}{13}$．
因為cosB=-$\frac{5}{13}$＜0，所以B為鈍角，所以C為銳角．
由sinC=$\frac{4}{5}$，得cosC=$\frac{3}{5}$，
所以cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{63}{65}$．
（2）由正弦定理得AB=$\frac{ACsinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{4}{5}}{\frac{12}{13}}$=$\frac{13}{3}$，
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{16}{65}$，
所以△ABC的面積S=$\frac{1}{2}AC•AB•sinA$=$\frac{1}{2}×5×\frac{13}{3}×\frac{16}{65}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數，正弦定理的應用，考查三角形的解法計算能力．