Question

5．給出下列命題：
①A，B是△ABC的內角，且A＞B，則sinA＞sinB；
②{a_n}是等比數列，則{a_n+a_n+1}也為等比數列；
③在數列{a_n}中，如果n前項和S_n=n²+n+2，則此數列是一個公差為2的等差數列；
④O是△ABC所在平面上一定點，動點P滿足：$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{sinC}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{sinB}$），λ∈（0，+∞），則直線AP一定通過△ABC的內心；
則上述命題中正確的有①④（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 逐項判斷即可．

解答 解：①根據三角形知識，由A＞B，有a＞b，在根據正弦定理可知sinA＞sinB，故①為真；
②如數列1，-1，1，-1，1…，是一等比數列，但a_n+a_n+1=0，所以{a_n+a_n+1}不是等比數列，故②為假；
③由${S}_{n}={n}^{2}+n+2$可得，a₁=S₁=4，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，不能表示首項，故數列不是等差數列，即③為假命題；
④由正弦定理有$sinC=\frac{c}{2R}，sinB=\frac{b}{2R}$，
所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}）$，即$\overrightarrow{AP}=2Rλ（\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}）$，因為向量$\frac{\overrightarrow{AB}}{c}，\frac{\overrightarrow{AC}}{b}$分別為與$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$共線的單位向量，由向量加法的幾何意義可知其和向量與角CAB的角平分線共線，因為向量AP的起點是A，所以直線AP過三角形的內心，故④為真．
綜上可知①④為真命題．
故答案為①④．

點評 本題考查的知識點較多，有正弦定理的運用，等差等比數列的判斷及向量的共線表示．本題難點在第4個命題的判斷，易錯點在第3個命題．