Question

12．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．
（Ⅰ）求證：平面ADEF垂直于平面ABCD；
（Ⅱ）若P、Q分別為棱BF和DE的中點，求證：PQ∥平面ABCD；
（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC，推導出BD⊥AC，從而FA⊥平面ADEF，由此能證明平面ADEF垂直于平面ABCD．
（Ⅱ）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，推導出四邊形PSTQ是平行四邊形，從而PQ∥ST，由此能證明PQ∥平面ABCD．
（Ⅲ）多面體ABCDEF的體積V_{多面體ABCDEF}=V_F-ABCD+V_C-DEF，由此能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）連結AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AF⊥AD，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴FA⊥平面ADEF，
∴平面ADEF垂直于平面ABCD．
（Ⅱ）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，
在△ABF中，PS：AF=BP：BF=1：2，PS=$\frac{1}{2}$AF，
在直角梯形ADEF中，QT=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$AF，
∴PS$\underset{∥}{=}$QT，
∴四邊形PSTQ是平行四邊形，∴PQ∥ST，
∵ST?平面ABCD，∴PQ∥平面ABCD．
解：（Ⅲ）多面體ABCDEF的體積：
V_{多面體ABCDEF}=V_F-ABCD+V_C-DEF
=$\frac{1}{3}×（2a）^{2}×a+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}×2a$=$\frac{5}{3}{a}^{3}$．

點評 本題考查面面垂直、線面平行的證明，考查多面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．