Question

15．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的兩個(gè)焦點(diǎn)，M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）是雙曲線的漸近線上一點(diǎn)，滿足MF₁⊥MF₂，如果以F₂為焦點(diǎn)的拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $2+\sqrt{3}$
• B． $2-\sqrt{3}$
• C． $2+\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由MF₁⊥MF₂以及點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線$y=\frac{b}{a}x$上，列出方程，根據(jù)拋物線的定義可知$|{M{F_2}}|={x_0}+\frac{p}{2}=a+c$，然后最后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：設(shè)M（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由MF₁⊥MF₂可知$|{OM}|=\frac{1}{2}|{{F_1}{F_2}}|=c$，
又點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線$y=\frac{b}{a}x$上，所以$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=\frac{b}{a}{x_0}\\{x_0}^2+{y_0}^2={c^2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=a\\{y_0}=b\end{array}\right.$，于是根據(jù)拋物線的定義可知$|{M{F_2}}|={x_0}+\frac{p}{2}=a+c$，
所以$\sqrt{{{（a-c）}^2}+{b^2}}=a+c$，即c²-4ac-a²=0，e²-4e-1=0，$e=\frac{c}{a}=2+\sqrt{5}$，
則雙曲線的離心率為$2+\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．