Question

18．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{b}$為兩個互相垂直的單位向量，向量$\overrightarrow c$滿足$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-2\overrightarrow c）$=0，則$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{2}$+θ，設|$\overrightarrow{c}$|=x，根據題意可得x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos（θ+φ），利用三角函數的性質即可求出最大值

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{b}$為兩個互相垂直的單位向量，
設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為θ，則$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{2}$+θ，設|$\overrightarrow{c}$|=x，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|=xcosθ，$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|=xcos（θ+$\frac{π}{2}$）=-xsinθ，
∵$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-2\overrightarrow c）$=0
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+2${\overrightarrow{c}}^{2}$=2x²-2xcosθ+xsinθ=0，
∴x=cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$cos（θ+φ），其中cosφ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinφ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴0≤x≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
若設$\overrightarrow{b}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{2}$-θ，
同理可得0≤x≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故$|\overrightarrow c{|_{max}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了向量的數量積公式和三角函數的圖象和性質，屬于中檔題