Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N*）在函數y=x²-10x的圖象上，等差數列{b_n}滿足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），其前n項和為T_n，則下列結論正確的是（　�。�

• A． S_n＜2T_n
• B． b₄=0
• C． T₇＞b₇
• D． T₅=T₆

Answer 1

分析 先求出${S}_{n}={n}^{2}-10n$，從而a_n=2n-11．由等差數列{b_n}滿足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），求出{b_n}是公差d=1，首項b₁=-5的等差數列，由此能求出結果．

解答 解：∵數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N*）在函數y=x²-10x的圖象上，
∴${S}_{n}={n}^{2}-10n$，
∴a₁=1-10=-9，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-10n）-[（n-1）²-10（n-1）]=2n-11，（n≥2）
當n=1時，a_n=2-11=-9=a₁，
∴a_n=2n-11．
∵等差數列{b_n}滿足b_n+b_n+1=a_n（n∈N*），
∴b₁+b₂=-9，b₂+b₃=a₂=4-11=-7，
（b₂+b₃）-（b₁+b₂）=b₃-b₁=2d=-7+9=2，
∴d=1，b₁=-5，
∴T_n=-5n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}-11n}{2}$．
在A 中，S_n-2T_n=（n²-10n）-（n²-11n）=n＞0，∴S_n＞2T_n，故A錯誤；
在B中，b₄=-5+3×1=-2，故B錯誤；
在C中，T₇-b₇=[7×（-5）+$\frac{7×6}{2}×1$]-（-5+6）=-14-1=-15＜0，
∴T₇＜b₇，故C錯誤；
在D中，T₅-T₆=[5×（-5）+$\frac{5×4}{2}×1$]-[6×（-5）-$\frac{6×5}{2}×1$]=0，
∴T₅=T₆，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查命題真假的判斷，涉及到函數性質、等差數列等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．