Question

18．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知曲線C₃的極坐標方程為θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，點A是曲線C₃與C₁的交點，點B是曲線C₃與C₂的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4$\sqrt{2}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的參數方程消去參數能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標方程化為ρ²=4ρsinθ，由此能求出C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）曲線C₁化為極坐標方程為ρ=4cosθ，設A（ρ₁，α₁），B（ρ₂，α₂），從而得到|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|4sinα-4cosα|=4$\sqrt{2}$|sin（$α-\frac{π}{4}$）|=4$\sqrt{2}$，進而sin（$α-\frac{π}{4}$）=±1，由此能求出結果．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），
消去參數得曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=4．
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴C₂的直角坐標方程為x²+y²=4y，整理，得x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）曲線C₁：（x-2）²+y²=4化為極坐標方程為ρ=4cosθ，
設A（ρ₁，α₁），B（ρ₂，α₂），
∵曲線C₃的極坐標方程為θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，點A是曲線C₃與C₁的交點，
點B是曲線C₃與C₂的交點，且A，B均異于原點O，且|AB|=4$\sqrt{2}$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|4sinα-4cosα|=4$\sqrt{2}$|sin（$α-\frac{π}{4}$）|=4$\sqrt{2}$，
∴sin（$α-\frac{π}{4}$）=±1，
∵0＜α＜π，∴$-\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}$，
∴$α-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，解得$α=\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查曲線的普通方程、直角坐標方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．