Question

8．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前3項積為27，且2a₂為3a₁和a₃的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=b_n-1•log₃a_n+1（n≥2，n∈N^*），且b₁=1，求數(shù)列{$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)列方程解出公比和a₂，從而得出通項a_n；
（2）化簡遞推式可得$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=n，使用累乘法得出通項b_n，從而得出{$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$}的通項，利用裂項法求出S_n．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，
則a₁a₂a₃=a₂³=27，∴a₂=3，∴a₁=$\frac{3}{q}$，a₃=3q，
∵2a₂為3a₁和a₃的等差中項，
∴4a₂=3a₁+a₃，即12=$\frac{9}{q}$+3q，解得q=3或q=1（舍）．
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=b_n-1•log₃a_n+1=nb_n-1，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=n，又b₁=1，
∴b_n=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•$\frac{{b}_{n-2}}{{b}_{n-3}}$•…•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=n!，
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+2}}$=$\frac{n!}{（n+2）!}$=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴S_n=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題．