Question

19．若單位向量$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$的夾角為$\frac{π}{3}$，則向量$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$與向量$\overrightarrow{e_1}$的夾角為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，作出平面向量的示意圖，利用余弦定理即可得出OA⊥AC，得出結論．

解答 解：設$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，則OA=1，OB=1，∠AOB=$\frac{π}{3}$，
延長OB到C使得OC=2OB，則$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，OC=2，
在△OAC中，由余弦定理得AC²=1+4-2×1×2×cos$\frac{π}{3}$=3，
∴OA²+AC²=OC²，∴OA⊥AC，
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{OA}$，
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．