Question

11．已知函數f（x）=2xlnx-x²+2ax，其中a＞0．
（1）設g（x）是f（x）的導函數，求函數g（x）的極值；
（2）是否存在常數a，使得x∈[1，+∞）時，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導，求得g（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）求導，根據導數與函數單調性的關系，即可求得函數g（x）的極值；
（2）由（1）可知：必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）單調遞增，（x₀，+∞）單調遞減，且f′（x₀）=0，求得a的表達式，存在a使得f（x）_max=f（x₀）=0，代入即可求得x₀，即可求得a的值．

解答 解：（1）函數f（x）=2xlnx-x²+2ax，（x＞0）求導，g（x）=f′（x）=2lnx+2-2x+2a，（x＞0）
g′（x）=$\frac{2}{x}$-2=-$\frac{2（x-1）}{x}$，（x＞0）
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，
g（x）在（0，1）單調遞增；在（1，+∞）單調遞減，
∴當x=1時，取極大值，極大值為g（1）=2a，無極小值；
（2）由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）單調遞減，且x→+∞時，f′（x）＜0，
則必然存在x₀＞1，使得f（x）在（1，x₀）單調遞增，（x₀，+∞）單調遞減；
且f′（x₀）=2lnx₀+2-2x₀+2a=0，即a=-lnx₀-1+x₀，①
此時：當x∈[1，+∞）時，由題意知：只需要找實數a使得f（x）_max=f（x₀）=0，
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀，將①式代入知：
f（x₀）=2x₀lnx₀-x₀²+2ax₀=2x₀lnx₀-x₀²+2x₀（-lnx₀-1+x₀）=x₀²-2x₀=0，
得到x₀=2，從而a=-lnx₀-1+x₀=1-ln2，
∴a的值為1-ln2．

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性及極值的關系，不等式恒成立，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．