Question

1．如圖，在直角梯形ABCD中AD∥BC．∠ABC=90°，AB=BC=2，DE=4，CE⊥AD于E，把△DEC沿CE折到D′EC的位置，使D′A=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面AD′C；
（Ⅱ）求平面D′AB與平面D′CE的所夾的銳二面角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知EC⊥AE，EC⊥D′E，EC⊥平面D′AE，EC⊥D′A，D′A⊥AE，D′A⊥平面ABCE，D′A⊥BE，BE⊥AC，由此能證明BE⊥平面AD′C．
（Ⅱ）取AB，AE，AD′分別x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面D′AB的法向量和平面D′CE的法向量，由此能求出平面D′AB與平面D′CE的所夾的銳二面角的大小．

解答 證明：（Ⅰ）∵EC⊥AE，EC⊥D′E，AE∩D′E=E，
∴EC⊥平面D′AE，
又D′A?平面D′AE，∴EC⊥D′A，
在△AD′E中，∵AD′=2$\sqrt{3}$，D′E=4，AE=2，
∴AD^'2+AE²=D′E²，∴D′A⊥AE，
又AE∩EC=E，∴D′A⊥平面ABCE，又BE?平面ABCE，
∴D′A⊥BE，
在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，CE⊥AD，
∴ABCE為正方形，∴BE⊥AC，AC∩D′A=A，
∴BE⊥平面AD′C．
解：（Ⅱ）取AB，AE，AD′分別x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意知面D′AB的法向量$\overrightarrow{AE}$=（0，2，0），
設(shè)平面D′CE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DE}$=（0，2，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（2，0，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2y-2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=3，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{π}{6}$，
∴平面D′AB與平面D′CE的所夾的銳二面角的大小為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．