Question

6．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設M，G分別是BC，CD的中點，化簡下列各表達式：
（1）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
（2）$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

Answer 1

分析 （1）取BD中點O，連結BG、OG、MG，利用數形結合思想和空間向量加法法則能化簡$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$．
（2）取AB中點E，AC中點F，連結AM、EM、FM、MD，利用數形結合思想和空間向量加法法則能化簡$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

解答 解：（1）取BD中點O，連結BG、OG、MG，
∵空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設M，G分別是BC，CD的中點，
∴$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
=$\overrightarrow{AB}$+（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{BM}$）
=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BG}$
=$\overrightarrow{AG}$．
（2）取AB中點E，AC中點F，連結AM、EM、FM、MD，
則$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$）
=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}$
=$\overrightarrow{MD}$．

點評 本題考查向量的化簡，是基礎題，解題時要認真審題，注意數形結合思想和空間向量加法法則的合理運用．