Question

15．曲線C是平面內到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數k²（k＞0）的點的軌跡．給出下列四個結論：
①曲線C過點（-1，1）；
②曲線C關于點（-1，1）對稱；
③若點P在曲線C上，點A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|+|PB|不小于2k；
④設P₀為曲線C上任意一點，則點P₀關于直線x=-1，點（-1，1）及直線y=1對稱的點分別為P₁、P₂、P₃，則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積為定值2k²．
其中，所有正確結論的序號是②③．

Answer 1

分析 由題意曲線C是平面內到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數k²（k＞0）的點的軌跡．利用直接法，設動點坐標為（x，y），及可得到動點的軌跡方程，然后由方程特點即可加以判斷．

解答 解：由題意設動點坐標為（x，y），則利用題意及點到直線間的距離公式的得：|x+1||y-1|=k²，
對于①，將（-1，1）代入驗證，此方程不過此點，所以①錯；
對于②，把方程中的x被-2-x代換，y被2-y 代換，方程不變，故此曲線關于（-1，1）對稱．所以②正確；
對于③，由題意知點P在曲線C上，點A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2$\sqrt{|PA||PB|}$=2k，所以③正確；
對于④，由題意知點P在曲線C上，根據對稱性，
則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k²．所以④正確．
故答案為：②③④．

點評 此題重點考查了利用直接法求出動點的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性，屬于基礎題．