Question

4．一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0、1、2、…、100，共101點，一枚棋子開始在第0站（即P₀=1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若硬幣出現正面則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時，游戲結束，已知硬幣出現正、反面的概率相同，設棋子跳到第n站時的概率為P_n．
（1）求P₁、P₂、P₃；
（2）設a_n=P_n-P_n-1（1≤n≤100），求證：數列{a_n}是等比數列；
（3）求玩該游戲獲勝的概率．

Answer 1

分析 （1）由P₀=1，根據題設條件能求出P₁、P₂、P₃．
（2）棋子跳到第n站，必是從第n-1站或第n-2站跳來的（2≤n≤100），從而${P_n}=\frac{1}{2}{P_{n-1}}+\frac{1}{2}{P_{n-2}}$，由此能證明{a_n}是公比為$-\frac{1}{2}$，首項為$-\frac{1}{2}$的等比數列（1≤n≤100）．
（3）由a₁+a₂+…+a₉₉=（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+…+（P₉₉-P₉₈），能求出玩該游戲獲勝的概率．

解答 解：（1）∵P₀=1，
∴${P_1}=\frac{1}{2}$，
${P_2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，
${P_3}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{5}{8}$．（3分）
證明：（2）棋子跳到第n站，必是從第n-1站或第n-2站跳來的（2≤n≤100），
所以${P_n}=\frac{1}{2}{P_{n-1}}+\frac{1}{2}{P_{n-2}}$，
∴${P_n}-{P_{n-1}}=-{P_{n-1}}+\frac{1}{2}{P_{n-1}}+\frac{1}{2}{P_{n-2}}=-\frac{1}{2}（{P_{n-1}}-{P_{n-2}}）$，
∴${a_n}=-\frac{1}{2}{a_{n-1}}（2≤n≤100）$，且${a_1}={P_1}-{P_0}=-\frac{1}{2}$，
故{a_n}是公比為$-\frac{1}{2}$，首項為$-\frac{1}{2}$的等比數列（1≤n≤100）．（7分）
解：（3）由（2）知，a₁+a₂+…+a₉₉=（P₁-P₀）+（P₂-P₁）+…+（P₉₉-P₉₈）
=$（-\frac{1}{2}）+{（-\frac{1}{2}）^2}+…+{（-\frac{1}{2}）^{99}}$$⇒{P_{99}}-{P_0}=-\frac{{1-{{（-\frac{1}{2}）}^{99}}}}{3}$$⇒{P_{99}}=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{{2^{100}}}}）$．
故玩該游戲獲勝的概率為${P_{99}}=\frac{2}{3}（1-\frac{1}{{{2^{100}}}}）$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查等比數列的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列的性質的合理運用．