Question

19．定義函數f（x）={x•{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整數，如{1.2}=2，{-2.6}=-2．當x∈（0，n]（n∈N^*）時，函數f（x）的值域記為A_n，記A_n中元素的個數為a_n，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$=$\frac{20}{11}$．

Answer 1

分析 推導出a_n=a_n-1+n，a_n-a_n-1=n，從而利用累加法得到a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，進而得到$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此能求出$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$．

解答 解：由題意知：當n=1時，∵x∈（0，1]，∴{x}=1，∴{x{x}}=1，∴A₁={1}，a₁=1；
當n=2時，∵x∈（1，2]，∴{x}=2，∴{x{x}}∈（2，4]，∴A₂={1，3，4}，a₂=3；
當n=3時，∵x∈（2，3]，∴{x}=3，∴{x{x}}={3x}∈（6，9]，∴A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
當n=4時，∵x∈（3，4]，∴{x}=4，∴{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
當n=5時，∵x∈（4，5]，∴{x}=5，∴{x{x}}={5x}∈（20，25]，
∴A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此類推：a_n=a_n-1+n，∴a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1個式子相加得，a_n-a₁=$\frac{（n-1）（n+2）}{2}$，
解得${a}_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
故$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{10}}}}$=2（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}$）=2（1-$\frac{1}{11}$）=$\frac{20}{11}$．
故答案為：$\frac{20}{11}$．

點評 本題考查數列的前10項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法和裂項求和法的合理運用．