Question

11．已知數列{a_n}滿足a₁=2，a₂=6，且對?n∈N⁺，都有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-a_n，證明數列{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數列遞推式可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即b_n+1-b_n=2，則數列{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出數列{b_n}的通項公式，結合b_n=a_n+1-a_n，利用累加法求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）把數列{a_n}的通項公式代入{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}，利用錯位相減法求得數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ}的前n項和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2，∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
即b_n+1-b_n=2，則數列{b_n}為等差數列；
（Ⅱ）解：∵a₁=2，a₂=6，∴b₁=a₂-a₁=4，d=2，
∴b_n=4+2（n-1）=2n+2，
又b_n=a_n+1-a_n，
∴當n≥2時，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2n-2，…，a₂-a₁=4，累加有${a}_{n}-{a}_{1}={n}^{2}+n-2$，
則${a}_{n}={n}^{2}+n$（n≥2）．
a₁=2也符合上式，則對?n∈N⁺，${a}_{n}={n}^{2}+n$；
（Ⅲ）解：$\frac{{a}_{n}}{n}$•3ⁿ =（n+1）•3ⁿ，
∴${T}_{n}=2•3+3•{3}^{2}+…+（n+1）•{3}^{n}$，
$3{T}_{n}=2•{3}^{2}+…+n•{3}^{n}+（n+1）•{3}^{n+1}$，
$-2{T}_{n}=2•3+{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}-（n+1）{3}^{n+1}$=$\frac{3-（2n+1）•{3}^{n+1}}{2}$，
∴${T}_{n}=\frac{（2n+1）•{3}^{n+1}-3}{4}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了累加法求數列的通項公式，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．