Question

6．已知邊長為$2\sqrt{2}$的正方形ABCD的四個頂點都在球心為O的球面上，若球O的體積為36π，則直線OA與平面ABCD所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 設ABCD的中心為M，則∠OAM為所求角，求出球的半徑和正方形的對角線長，在Rt△OAM中求出cos∠OAM．

解答 解：設正方形ABCD的中心為M，連結OM，OA，則OM⊥平面ABCD，
∴∠OAM為OA與平面ABCD所成的角．
設球的半徑為r，則$\frac{4π{r}^{3}}{3}$=36π，解得r=3，即OA=3，
∵正方形ABCD邊長為2$\sqrt{2}$，∴AM=2，
∴cos∠OAM=$\frac{AM}{OA}=\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．