Question

1．函數f（x）=lnx-2ax（a∈R）有兩個不同的零點，則a的取值范圍是$（{0，\frac{1}{2e}}）$．

Answer 1

分析 函數f（x）=lnx-2ax（a∈R）有兩個不同的零點，即a=$\frac{lnx}{2x}$有兩個不同的根，令 g（x）=$\frac{lnx}{2x}$，利用導數的方法，研究其單調性及最大值，從而求出實數a的取值范圍．

解答 解：y=f（x）有兩個零點，即f（x）=lnx-2ax=0有兩個根，
即a=$\frac{lnx}{2x}$有兩個根，
令 g（x）=$\frac{lnx}{2x}$，g′（x）=$\frac{2-2lnx}{4{x}^{2}}$，
解g′（x）=0，得x=e．
當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，
則g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，
當x=e時，g（x）的最大值為g（e）=$\frac{1}{2e}$，
又當x→0⁺時，g（x）→-∞，當x→+∞時，g（x）→0，
由于函數f（x）=lnx-2ax有兩個零點，
∴a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2e}$）．
故答案為：$（{0，\frac{1}{2e}}）$．

點評 本題考查利用導數求函數的極值，考查數學轉化思想方法與數形結合的思想方法，是中檔題．