Question

6．已知二次數f（x）=ax²+bx+c（a≤b）的值域為[0，+∞），則$\frac{a-b+4c}{a+b}$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，將原分式分子、分母同乘以a，再同乘以a²，令1+$\frac{b}{a}$=t（t≥2），轉化為t的函數，運用導數判斷單調性，即可得到所求最小值．

解答 解：由題意可得△=b²-4ac=0，且0＜a≤b，
則$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{{a}^{2}-ab+4ac}{{a}^{2}+ab}$=$\frac{{a}^{2}-ab+{b}^{2}}{{a}^{2}+ab}$
=$\frac{1-\frac{b}{a}+（\frac{b}{a}）^{2}}{1+\frac{b}{a}}$，
令1+$\frac{b}{a}$=t（t≥2），即有$\frac{b}{a}$=t-1，
則$\frac{a-b+4c}{a+b}$=$\frac{1-（t-1）+（t-1）^{2}}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-3，
由y=t+$\frac{3}{t}$-3的導數為y′=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
由于t≥2，可得y′＞0，即函數y遞增，
可得y的最小值為2+$\frac{3}{2}$-3=$\frac{1}{2}$，此時a=b．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查二次函數的值域的運用，考查轉化思想和換元法的運用，以及函數的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．