Question

16．三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為3的正三角形，SC是球O的直徑，且SC=4，則此三棱錐的體積V=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，利用截面圓的性質即可求出點O到平面ABC的距離，進而求出點S到平面ABC的距離，即可計算出三棱錐的體積．

解答 解：因為△ABC是邊長為3的正三角形，所以△ABC外接圓的半徑r=$\sqrt{3}$，
所以點O到平面ABC的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}=1$，
SC為球O的直徑，點S到平面ABC的距離為2d=2，
此棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}{s}_{ABC}×2d$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×2=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 題考查三棱錐的體積，考查學生的計算能力，求出點O到平面ABC的距離，進而求出點S到平面ABC的距離是關鍵，屬于中檔題．