Question

8．已知函數f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$，當f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，給出下列結論，其中所有正確結論的個數為（　�。�
①f（0）=$\frac{π}{3}$；  
②當x∈（0，1）時，函數f（x）的最大值為2；  
③函數$f（{x+\frac{1}{6}}）$的圖象關于y軸對稱；  
④函數f（x）在（-1，0）上是增函數．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 將f（x）化簡，根據f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，可得周期T=2．可得f（x）的解析式，依次判斷下列各選項即可．

解答 解：函數f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$=2sin（ωx$+\frac{π}{3}$）．
∵f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，
∴周期T=2，即2=$\frac{2π}{ω}$．
∴ω=π．
∴f（x）=2sin（πx$+\frac{π}{3}$）．
對于①：當x=0時，可得f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．∴①不對．
對于②：當x∈（0，1）時，則πx$+\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），當πx$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，f（x）取得最大值2，∴②對．
對于③：函數$f（{x+\frac{1}{6}}）$=2sinπ[x$+\frac{1}{6}$）$+\frac{π}{3}$]=2cosπx，圖象關于y軸對稱，∴③對．
對于④：令$-\frac{π}{2}≤$πx$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$是單調遞增，可得：$-\frac{5}{6}≤x≤\frac{1}{6}$，∴函數f（x）在（-1，0）上不是增函數，④不對．
故選：B．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用條件確定解析式是解決本題的關鍵．屬于中檔題．